Modèles et méthodes pour les équations cinétiques

Bordeaux, 20-22 octobre 2021



Comité d'organisation

Stéphane Brull Stephane.Brull@math.u-bordeaux1.fr



Présentation du workshop

Cette conférence est dédiée aux équations cinétiques, dont nous nous efforcerons d'en balayer les principaux aspects. Ce sont des équations qui interviennent largement dans la description d'un gaz raréfié, d'un plasma ou plus récemment dans la modélisation de mouvements collectifs (oiseaux, bancs de poissons,...)
Après une très longue interruption due à la pandémie, ce workshop permettra à des étudiants de thèse de venir présenter leurs résultats en présence de chercheurs confirmés dont ils pourront écouter des exposés. Nous souhaitons également qu'il soit l'occasion de discussions et d'échanges fructueux entre les participants.

La langue de ce workshop sera le Français. Des interventions invitées se succèderont sur deux journées et demi. Les étudiants donneront des exposés de 30 min tandis que les interventions des chercheurs permanents dureront 1h questions comprises.

Inscription

L'inscription est obligatoire même s'il n'y a pas de frais d'inscriptions Vous pouvez vous enregistrer en envoyant un mail à Stéphane Brull .

Liste des orateurs:

Teddy Pichard (CMAP-Ecole polytechnique) : Some recent advances in the theory of moment models
Abstract: En théorie cinétique, la méthode des moments est utilisée pour réduire une équation de transport scalaire dépendant de multiples variables (typiquement l'équation de Boltzmann présentant 7 variables) en un système d'équations dépendant de moins de variable (typiquement le système d'Euler). Dans cet exposé, je présenterai quelques récentes (moins de 5 ans) constructions de fermetures pour les modèles aux moments en vitesse. Je me concentrerai en particulier sur trois approches que je comparerai sur le papier : 1-une famille de modèles exploitant des quadratures (méthodes QMOM) ; 2-une famille de modèle exploitant l'entropie de l'équation sous-jacente (minimisation d'entropie et phi-divergence) ; 3-une famille de modèle basée sur l'étude de l'ensemble de définition des inconnues (méthodes projective).

Arthur Loison (CMAP-Ecole polytechnique) : Two-phase separated and disperse flow : towards a two-scale diffuse interface models with geometrical variables
Abstract: In the context of multi-fluid compressible two-phase flows involving both separated and dispersed phase i.e. spray of small droplets, Direct Numerical Simulations (DNS) of interfacial flows encountering interface topological changes and in the presence of clouds of droplets are often not tractable, even in academic configurations, because of the strongly multi-scale nature of the flow. This is all the more true for industrial applications. With the objective of predictive simulation of atomization, we have to rely on reduced order modeling and to design specific numerical methods to resolve it. Two-scale Eulerian models with diffuse interface then propose an economical alternative thanks to the modeling of a sub-scale flow below a given threshold for which we can choose a mesh resolution. In order to construct on a solid theoretical basis, we rely on the Stationary Action Principle (SAP) and the second principle of thermodynamics [Gavrilyuk & Gouin 1999]. The role of large scale and sub-scale physics are introduced through the proper potential and kinetic energies. Several works [Drew 1990, Essadki & al 2018] indicate that additional geometrical variables (interfacial area density, surface average of mean and Gauss curvatures) constitutes an interesting path to describe these sub-scale phenomena. Since we only rely on a limited amount of information, a simplified framework of the sub-scale dynamics has to be provided in terms of a cloud of droplets/bubbles, which has to naturally degenerate toward a classical moment method for a disperse phase as the large scale disappears. The dynamics is thus decomposed into a pulsating part studied in [Drui 2019] and the well-studied oscillation dynamics of droplets, which is then a natural starting point for our model. Pursuing the efforts of sub-scale flow modeling led in [Cordesse & al 2020], we aim at proposing a unified model for both separated and dispersed flow models. Using differential geometry and DNS simulations with geometrical post-processing, this work identifies the right energies and variables to describe the droplets oscillations. Then, an enriched model is proposed for SAP and a semi-kinetic interpretation is given through a Williams-Boltzmann equation [Williams 1958] making the link with an extended method of moments describing polydisperse sprays with non-spherical droplets.

Marwa Shahine (IMB-Bordeaux) : Compactness of the Linearized Boltzmann Operator for a Polyatomic Single Gas Model
Abstract: We consider the Boltzmann equation that models a polyatomic gas by taking into account the continuous microscopic internal energy I. In particular, we consider the kinetic system proposed by Bourgat, Desvillettes, Le Tallec, and Perthame (1994), which is based on the procedure of Borgnakke and Larsen (1975). Under some convenient assumptions on the collision cross-section B, we prove that the linearized Boltzmann operator L is a Fredholm operator. For this, we write L as L=K-nu I, and we prove that K is compact. The compactness is achieved as a result of K being a Hilbert-Schmidt integral operator.

Kevin Guillon (IMB-Bordeaux) : A Fick-relaxation BGK operator for a mixture of polyatomic gases
Abstract: In this talk, we extend the derivation of the Fick-relaxation BGK model, to a polyatomic setting. The construction of the present model is based on the introduction of relaxation coefficients and by solving an entropy minimisation problem. The distribution functions of each species are described by adding a supplementary continous variable collecting vibrational and translational energies. Finally, by using a Chapmann-Engskog equation, we recover the Fick matrix, the volume viscosity and the shear viscosity.

Thomas Normand (IMB-Bordeaux) : Return to equilibrium and metastability for a linear Boltzmann model.
Abstract: We consider a semiclassical linear Boltzmann model with a non local collision operator. We provide sharp spectral asymptotics for the small spectrum in the low temperature regime from which we deduce the rate of return to equilibrium as well as a metastability result. The main ingredients are resolvent estimates obtained via hypocoercive techniques and the construction of sharp Gaussian quasimodes through an adaptation of the WKB method.

Mathieu Pauron (IMB-Bordeaux) : Le phénoméne d'eaux mortes
Abstract: Un objet se déplaçant à force constante sur un fluide dont la densité est stratifiée crée des ondes internes. Il a été observé que cette création d'ondes internes peut ralentir le bateau, voire l'amener pratiquement à l'arrêt. L'objet de cette présentation est de donner une modélisation de ce phénomène hydrodynamique par un système d'équations de Saint-Venant couplées à une équation de Newton, ainsi que de discuter sur son caractère bien posé et de proposer des simulations numériques associées.

Denise Aregba (IMB-Bordeaux) : Approximation des équations d'Euler bi-températures en 2D
Abstract: le système d'Euler bi-température est un modèle fluide pour un plasma quasi-neutre. C'est un système non conservatif au sens où il comporte des termes sources et des produits de la vitesse par un gradient de pression n'ayant pas de forme divergentielle. Dans ce contexte la définition des chocs et leur approximation numérique doit faire jouer des informations supplémentaires provenant de la modélisation. Dans cet exposé nous utiliserons un système cinétique sous-jacent pour définir les solutions admissibles et nous approcherons ces solutions par une méthode de relaxation de type BGK discret de rang complet.

Valentin Ayot (IMB-Bordeaux) : Un modèle cinétique de dynamique collective avec collision d'alignement en vitesse en dimension 1 homogène en espace.
Abstract: Le but de cette présentation est de présenter un modèle de type Boltzmann qui décrit le comportement collectif d'un grand groupe d'individus. Ce modèle considère un mécanisme dans lequel au moment où deux individus entrent en collision, ils adoptent après la collision la même vitesse post-collisionnelle selon une distribution centrée sur la vitesse moyenne pré-collisionnelle. Il y sera montré que les solutions du modèle homogène en espace sur $\mathbb{R}$ convergent exponentiellement vers l'état d'équilibre au sens de la métrique de Wasserstein. Il y sera également montré la convergence des solutions pour la norme L1 quand la condition initiale à des propriétés de régularité suffisante.

Mohammad Rachid (Nantes) : Incompressible Navier-Stokes-Fourier limit from the Landau equation
Abstract: In this presentation, we provide a result on the derivation of the incompressible Navier-Stokes-Fourier system from the Landau equation for hard, Maxwellian and moderately soft potentials. To this end, we first investigate the Cauchy theory associated to the rescaled Landau equation for small initial data. Our approach is based on proving estimates of some adapted Sobolev norms of the solution that are uniform in the Knudsen number. These uniform estimates also allow us to obtain a result of weak convergence towards the fluid limit system.

Marc Briant (Paris 5) : Hypocoercive Techniques in Collisional Kinetic Theory
Abstract: The issue of long-time behaviour of solutions of a PDE, more precisely the convergence towards an equilibrium, can be viewed at a linear(ized) level by adopting a perturbative approach. In such a framework one expects the dynamics of the linear operator to take over higher order terms for small initial data. When the linear operator is symmetric negative then obvious Gronwall-type arguments apply to obtain explicit rate of decay for the solutions. Unfortunately for a lot of collisional kinetic equations, the linear operator indeed offers a negative feedback but only outside of its kernel. In this talk we present different techniques used in order to recover a full coercivity thanks to the interplay between collision and transport operator : opertor commutators, weak ellipticity, L^2-L^\infty, extension methods... We shall present some models where such hypocoercivity proved itself useful to construct explicit Cauchy theories and rates of convergence.

Alain Blaustein (IMT-Toulouse) : Concentration phenomena in a FitzHug-Nagumo spatially extended neural network with noise
Abstract: We consider the solution to a non-linear mean-field equation modeling a FitzHug-Nagumo neural network (see [1], [2], [3]). The non-linearity in this equation arises from the interaction between neurons. We suppose that the interactions depend on the spatial location of neurons and we focus on the behavior of the solution in the regime where short-range interactions are dominant. The solution then converges to a Dirac mass (see [4]). The aim of this talk is to characterize the blow-up profile: we will prove that it is Gaussian. Then we present interesting consequences of this result both at the macroscopic and the mesoscopic level.

[1] J. Baladron, D. Fasoli, O. Faugeras and J. Touboul. - Mean-field description and propagation of chaos in networks of Hodgkin-Huxley and FitzHugh-Nagumo neurons, The Journal of Mathematical Neuroscience, 2(10), 2012.

[2] M. Bossy, O. Faugeras and D. Talay. - Clarification and complement to "mean-field description and propagation of chaos in networks of Hodgkin-Huxley and FitzHugh-Nagumo neurons", The Journal of Mathematical Neuroscience, 5(1), 2015.

[3] S. Mischler, C. Quininao and J. Touboul. - On a kinetic FitzHugh-Nagumo model of neuronal network, Comm. Math. Phys. , 2015.

[4] J. Crevat, G. Faye, F. Filbet - Rigorous derivation of the nonlocal reaction-diffusion FitzHugh-Nagumo system.

Isabelle Gallagher (ENS Ulm) : Etude statistique de la dynamique d'un gaz dilué
Abstract: L'évolution d'un gaz peut être décrit par différents modèles, dépendant de l'échelle d'observation. Une question naturelle, posée par Hilbert dans son sixième problème, est de savoir si ces modèles sont consistants entre eux. En particulier, on s'attend à ce que pour un gaz raréfié, les lois de la théorie cinétique puissent s'obtenir directement de la dynamique moléculaire régie par les principes fondamentaux de la mécanique. Dans le cas d'un gaz de sphères dures, Lanford a montré en 1974 que l'équation de Boltzmann apparaît comme une loi des grands nombres dans la limite de Boltzmann-Grad (gaz raréfié), au moins en temps court. Nous présenterons dans cet exposé quelques progrès récents dans la compréhension de ce passage à la limite.

Thomas Borsoni (Jussieu) : Un cadre général pour la modélisation cinétique des gaz polyatomiques
Abstract: Dans le cadre des modèles cinétiques, on se propose de décrire la structure interne des molécules de manière générale, avec un espace mesuré correspondant aux états internes et une fonction réelle sur cet espace correspondant à l'énergie associée à chaque état. On prouve le théorème H dans ce cas, qui donne notamment la distribution d'équilibre: le produit d'une Maxwellienne et d'une distribution de Gibbs. On montre que ce cadre contient le cas monoatomique, et les deux modèles polyatomiques existants, qui sont les modèles avec énergie interne continue et niveaux d'énergie discrets. On construit de nouveaux modèles dans ce cadre à partir directement de considérations physiques, ce qui permet notamment d'aussi bien décrire les gaz non polytropiques. Enfin, nous expliquons la réduction de modèle, qui permet de se ramener au modèle avec énergie interne continue, ce qui donne du sens et une formule pour calculer à partir de la description de la molécule le poids d'intégration présent dans ce modèle.

Léopold Trémant (Rennes) : Décomposition micro-macro et problèmes à relaxation rapide
Abstract: L'application de méthodes numériques à des problèmes à relaxation rapide (de temps de relaxation epsilon) engendre des erreurs dégradées lorsque le pas de temps est de l'ordre du paramètre epsilon. Dans cet exposé, on décrit une méthode de développement asymptotique qui permet de construire un problème micro-macro, ce qui sépare le problème en deux parties non-raides. Les schémas numériques standards (exponentiels ou IMEX) peuvent ensuite être appliqués à ce nouveau problème pour obtenir une erreur sans dégradation de la précision quel que soit la taille du paramètre epsilon; on parle de précision uniforme. L'extension de la méthode aux problèmes hyperboliques à relaxation rapide entraîne des problèmes de stabilité dont on discutera.

Ahn-Tuan Vu (Marseille) : Comportement asymptotique pour l'équation de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck 2D avec champ magnétique extérieur fort
Abstract: L'objet de cet article aborde les équations de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck (VPFP) dans le cadre du confinement magnétique. On étudie le comportement en temps long du système de VPFP avec champ magnétique intense externe, en négligeant la courbure des lignes magnétiques. Lorsque l'intensité du champ magnétique tend vers l'infini, le comportement en temps long de la concentration de particules est décrit par une équation hyperbolique non-linéaire du premier ordre du type Euler pour la mécanique des fluides. Plus exactement, lorsque le champ magnétique est uniforme, on retrouve la formulation en vorticité des équations d'Euler incompressible en deux dimensions espace. Le résultat se démontre à l'aide de la méthode d'énergie modulée (l'entropie relative), lorsque les solutions du modèle limite présentent assez de régularité.

Thomas Bellotti (CMAP-Ecole polytechnique) : Une formulation de type différences finies pour les schémas de Boltzmann sur réseau
Abstract: Les schémas de Boltzmann sur réseau s'appuient sur l'augmentation de la taille du problème cible afin de résoudre des EDPs de manière hautement parallélisable et efficace en utilisant une approche simili cinétique, en appliquant successivement une étape dite de collision suivie d'un transport libre. Cette structure, au-delà des avantages manifestes d'un point de vue computationnel, n'est pas adaptée pour construire rigoureusement une notion de consistance par rapport aux équations ciblées et établir une notion de stabilité précise. Afin de palier ce manque et de mettre un cadre rigoureux, nous montrons dans ce travail que tout schéma de Boltzmann sur réseau peut se mettre sous la forme d'un schéma aux différences finies multi-pas sur les variables conservées. Pour cela, nous introduisons un formalisme adapté basé sur des opérateurs, de l'algèbre commutative et des polynômes. La notion de consistance du schéma aux différences finies équivalent permet alors l'utilisation du théorème de Lax-Richtmyer dans le cas des schémas de Boltzmann sur réseau linéaires. Par ailleurs, nous montrons que l'analyse de stabilité linéaire à la von Neumann couramment utilisée pour les schémas de Boltzmann sur réseau correspond exactement à l'analyse de von Neumann sur le schéma aux différences finies équivalent.

Louis Reboul (CMAP-Ecole polytechnique) : A new asymptotic-preserving strategy for kinetic and fluid equations simulation
Abstract: Some fluid and kinetic systems of equations in the presence of (potentially multiple) small parameters admit so-called asymptotic regimes, where they reduce to a smaller set of equations, potentially with a different mathematical structure. However, classic numerical approaches, such as finite volume methods, do not naturally degenerate in these asymptotic regimes to consistent discretizations of the limit equations. Furthermore, even though stability conditions usually become more and more restrictive when we approach these asymptotic regimes, meaning smaller and smaller time steps, accuracy can be dramatically reduced and the results frequently inexploitable. Asymptotic preserving schemes are designed to both lift the restrictive stability conditions and remain accurate in the asymptotic regime. In this presentation, we introduce some fluid and kinetic equations of interest and their corresponding asymptotic regimes and we present a new asymptotic-preserving strategy for a wide range of applications. Our aim includes plasma discharges with sheaths, where we have two small parameters related to Debye length and mass ratio. Numerical simulations assess and illustrate the potential of the method we have introduced.

Josselin Massot (Rennes) : (Approximate) Exponential methods for solving hyperbolic problems for electron hybrid model.
Abstract: Dans cet exposé, nous étudierons un intégrateur exponentiel pour la résolution d'un modèle hybride fluide/cinétique de Vlasov Maxwell. Nous nous intéresserons particulièrement à la manière dont il est possible d'approcher l'exponentielle de la partie linéaire de l'équation et les impacts sur l'erreur de consistance du schéma. Cette technique permettant de résoudre plus de termes exactement en les intégrant dans la partie linéaire de notre méthode de Lawson induite par une méthode Runge-Kutta. Nous finirons pas l'illustration de ceci dans une simulation 1dx-3dv avec une méthode de Lawson à pas de temps adaptatif.

Romane Hélie (Strasbourg) : Equivalent equation analysis of a kinetic relaxation scheme
Abstract: Kinetic relaxation schemes are efficient numerical methods to solve an hyperbolic system. The method consists in solving a kinetic model with n velocities corresponding to n kinetic variables. However, kinetic schemes can be difficult to analyze. To do that, we propose to study the equivalent equation on n variables. The study of this equivalent equation allows then to obtain a simple stability analysis. We will also talk about the construction of adapted boundary conditions.

Pierre Gervay (ENS Ulm) : From Boltzmann to Incompressible Navier-Stokes with general initial data
Abstract: Hilbert's sixth problem, stated in 1900 during the International Congress of Mathematicians, consists in the axiomatization of physics. In the case of fluid dynamics, this issue reduces to the derivation of hydrodynamic equations (a macroscopic description) from kinetic equations (a mesoscopic description), which would be themselves derived from Newton's laws of motion applied to the particles making up the fluid (a microscopic description). In the special case of a gas close to a global thermodynamic equilibrium with constant density, temperature and velocity, the fluctuations of these two last quantities are driven by the Navier-Stokes equations. The problem of deriving this hydrodynamic model from this kinetic model is still partially open for strong solutions (the link between weak solutions being well understood thanks to the works of C. Bardos, F. Golse, D. Levermore and L. Saint-Raymond between 1989 and 2003). Most of the strong theory of hydrodynamic limits consists in constructing solutions to the Boltzmann equation close to the solution of some hydrodynamic equation and quantifying this "closeness". However, they require that the initial statistical distribution for the velocity decays like a Gaussian, although the ideal decay assumption, suggested by physical a priori bounds, would be an algebraic decay. The so-called Enlargement Theory (of functional spaces), initiated by C. Mouhot and developped with M.P. Gualdani and S. Mischler between 2005 and 2017, allowed to construct solutions to several kinetic equations for initial data having an algebraic decay in the velocity variable. In this talk, I will explain how this theory can be combined with previous approaches (à la Bardos-Ukai or Gallagher-Tristani) to construct solutions to the Boltzmann equation for any initial distribution with algebraic decay, and detail the modes of convergence to the incompressible Navier-Stokes limit depending on how well prepared it is.


Programme


mercredi 20 octobre

14h00-15h00 Isabelle Gallagher
15h00-16h00 Marc Briant
16h00-16h30 Pause café
16h30-17h00 Thomas Normand
17h00-17h30 Matthieu Pauron


jeudi 21 octobre

9h30-10h30 Teddy Pichard
10h30-11h00 Pause café
11h00-11h30 Arthur Loison
11h30-12h00 Thomas Belloti
12h00-14h00 Repas au Régent Grill
14h00-14h30 Léopold Trémant
14h30-15h00 Josselin Massot
15h00-16h00 Denise Aregba
16h00-16h30 Pause café
16h30-17h00 Romane Hélie
17h00-17h30 Louis Reboul
20h00 Dîner au café du port


vendredi 22 octobre

9h30-10h00 Kevin Guillon
10h00-10h30 Pause café
10h30-11h00 Thomas Borsoni
11h00-11h30 Marwa Shahine
11h30-12h00 Pierre Gervay
12h00-14h00 Repas au Régent Grill
14h00-14h30 Mohamad Rachid
14h30-15h00 Valentin Ayot
15h00-15h30 Ahn Tuan Vu
15h30-16h00 Alain Blaustein
16h00-16h30 Pause café

Participants:

Stéphane Brull Denise Aregba Marwa Shahine
Kevin Guillon Marc Briant Teddy Pichard
Alain Blaustein Valentin Ayot Mohammad Rachid
Isabelle Gallagher Thomas Normand Matthieu Pauron
Arthur Loison Mathieu Borsoni François Rogier
Marc Massot Thomas Bellotti Louis Reboul
Romane Hélie Franck Sueur Sylvain Ervedozza
Vincent Laheurte Josselin Massot Pierre Gervay
David Lannes Laurent Michel Shahnaz Fahrat
Philippe Thieullen Florent Noisette Khaled Abou Alfa
Sanae Janati Idrissi Tuan Dung Nguyen Ahn Tuan Vu
Léopold Trémant

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